Trigonometrija

Trigonometrija (gr. trigonon – trikampis, metreo – matuoju) – geometrijos šaka, tyrinėjanti sąryšius tarp kampų ir kraštinių geometrinėse figūrose. Pagrindinės trigonometrinės funkcijos yra sinusas (${\displaystyle \sin x}$), kosinusas (${\displaystyle \cos x}$), tangentas (${\displaystyle \tan x}$ arba ${\displaystyle \operatorname {tg} x}$), kotangentas (${\displaystyle \cot x}$ arba ${\displaystyle \operatorname {ctg} x}$) bei jų atvirkštinės funkcijos.

Sinuso ir kosinuso funkcija vienetiniame apskritime.

Trigonometrija praktiškai naudojama atliekant matavimus ir geodezijoje, o trigonometrijos šaka sferinė trigonometrija - nagrinėja trimates erdvės trigonometrines funkcijas ir yra svarbi jūreivystėje bei astronomijoje.

Istorija

Trigonometrijos ištakas jau galima atsekti anksčiausiuose matematiniuose šaltiniuose Egipto bei Babilono civilizacijose. Babiloniečiai buvo pirmieji, kurie kampų matavimui naudojo laipsnių, minučių ir sekundžių sistemą.

Tačiau daugiausiai prie trigonometrijos prisidėjo graikų matematikai, tarp kurių turbūt žymiausias buvo Hiparchas jau II a. pr. m. e. sudaręs trigonometrinę lentelę, pagal kurią buvo galima rasti kraštinių ilgius. Dabar tai būtų sinusų lentelės atitikmuo. Vėliau šią lentelę patikslino bei išpletė kitas graikų matematikas Klaudijus Ptolemėjus, savo knygoje smulkiai paaiškinęs, kaip rasti nežinomus trikampių dydžius žinant kitus kampus ir kraštines.

Maždaug tuo pat metu Indijos matematikai taip pat aktyviai tyrinėjo šią geometrijos šaką ir pasiekė panašių rezultatų kaip ir graikai. Jau vėliau, VIII a., arabų matematikai perėmė graikų ir indų žinias šioje srityje ir patys pradėjo aktyviai tyrinėti. Maždaug X a. jie išvedė jau penkias trigonometrines funkcijas, įrodė pagrindines teoremas bei sudarė labai tikslią trigonometrinę lentelę, nurodydami sinuso reikšmes kas 1/60 laipsnio.

Vakarų Europa šiuos arabų matematikų tekstus išvertė bei pradėjo naudoti XII a. XIII amžiuje vokiečių matematikas (George Joachim) įvedė šiuolaikišką trigonometrinių funkcijų naudojimą, kurios nurodo kraštinių santykį, o ne vienetinį ilgį, kuriuo rėmėsi indų bei arabų matematikai.

Vėlesniais amžiais būtų galima išskirti škotų matematiko Džono Neperio (XVII a.) ir garsiojo šveicarų matematiko Leonardo Oilerio indėlius į šią matematikos šaką.

Trigonometrinės funkcijos

Pagrindinis straipsnis – Trigonometrinės funkcijos.

Sinuso, kosinuso ir tangento funkcijos gali būti apibrėžtos keliais būdais. Vienas iš jų – pagal statųjį trikampį (dešinėje):

Tada kampo A intervale nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ radianų) sinuso funkciją galima apibrėžti kaip kraštinės esančios prieš kampą A ir įžambinės santykį. Arba:

${\displaystyle \sin {A}={\frac {a}{c}}\;}$ ${\displaystyle ;\ \sin B={\frac {b}{c}}\;}$

Kosinuso funkcija atitinkamai yra kraštinės esančios šalia ir įžambinės santykis:

${\displaystyle \cos {A}={\frac {b}{c}}\;}$ ${\displaystyle ;\ \cos B={\frac {a}{c}}\;}$

Tangento funkcija atitinkamai yra statinio esančio priešais ir šalia santykis:

${\displaystyle \operatorname {tg} {A}={\frac {a}{b}}\;}$ ${\displaystyle ;\ \operatorname {tg} {B}={\frac {b}{a}}\;}$

Kotangento funkcija atitinkamai yra statinio esančio prie kampo ir prieš kampą santykis:

${\displaystyle \operatorname {ctg} {A}={\frac {b}{a}}\;}$ ${\displaystyle ;\ \operatorname {ctg} {B}={\frac {a}{b}}\;}$

Trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos stataus trikampio kraštinės ilgiui apskaičiuoti, kai yra žinomi trikampio kampai ir kuri nors viena kraštinė. Taigi, jeigu, pavyzdžiui, žinome, kad kampas B = 60° ir kraštinė a = 5 cm, įžambinės c ilgį galime rasti pasinaudoję formule cos B = a/c, nes iš jos išplaukia, kad c = a/cos B = 5 cm/cos(60°) = 5 cm/0,5 = 10 cm.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos

Arksinusas, arkkosinusas, arktangentas ir arkotangentas yra atvirkštinės funkcijos, atitinkamai, sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui. Taigi, jei sin 30° = 0,5, tai arcsin 0,5 = 30°

Pavadinimas	Įprastinis žymėjimas	Apibrėžimas	Reikšmės, kurias gali įgyti x	Reikšmės, kurias gali įgyti y (radianais)	Reikšmės, kurias gali įgyti y (laipsniais)
arksinusas	y = arcsin x	x = sin y	−1 ≤ x ≤ 1	−π/2 ≤ y ≤ π/2	−90° ≤ y ≤ 90°
arkkosinusas	y = arccos x	x = cos y	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
arktangentas	y = arctg x	x = tg y	visi realieji skaičiai	−π/2 < y < π/2	−90° ≤ y ≤ 90°
arkkotangentas	y = arcctg x	x = ctg y	visi realieji skaičiai	0 < y < π	0° < y < 180°

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos vidiniams stačių trikampių kampams apskaičiuoti, kai yra žinomos bet kurios dvi trikampio kraštinės.

Arksinusas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampui, kai yra žinomas stataus trikampio įžambinės ilgis ir kraštinės prieš ieškomą kampą ilgis. Kampas α yra lygus kraštinės prieš kampą α ir įžambinės santykio arksinusui:

${\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {b}{c}}}$

Atitinkamai, kampas β lygus kraštinės prieš kampą β ir įžambinės santykio arksinusui:

${\displaystyle \beta =\arcsin {\frac {a}{c}}}$

Kampas α taip pat yra lygus kraštinės šalia kampo α ir įžambinės santykio arkkosinusui:

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {a}{c}}}$

Arktangentas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampams, kai yra žinomi abejų statinių ilgiai:

${\displaystyle \alpha =\arctan {\frac {b}{a}};\ \beta =\arctan {\frac {a}{b}}}$

Kartais įžangoje į trigonometriją vietoje arcsin, arcos ir arctan rašoma atitinkamai sin⁻¹, cos⁻¹ ir tan⁻¹. Aukštojoje matematikoje toks žymėjimas paprastai nenaudojamas, nes užrašą sin⁻¹ (α) galima interpretuoti ir kaip 1/sin (α).

Pagrindinės trigonometrinės lygybės

To paties kampo trigonometrinės savybės

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\;}$

${\displaystyle \tan A={\frac {\sin A}{\cos A}}}$

${\displaystyle \cot A={\frac {\cos A}{\sin A}}}$

${\displaystyle \tan A\;\cot A=1}$

${\displaystyle 1+\tan ^{2}A={\frac {1}{\cos ^{2}A}}}$

${\displaystyle 1+\cot ^{2}A={\frac {1}{\sin ^{2}A}}}$

Kampų sudėtis ir atimtis

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(A\pm B)&=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B\\\cos(A\pm B)&=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B\\\tan(A\pm B)&={\frac {\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}}\end{aligned}}}$

Funkcijų sudėtis ir atimtis

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin A\pm \sin B&=2\cdot \sin \left({\frac {A\pm B}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {A\mp B}{2}}\right)\\\cos A+\cos B&=2\cdot \cos \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {A-B}{2}}\right)\\\cos A-\cos B&=-2\cdot \sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {A-B}{2}}\right)&=2\cdot \sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {B-A}{2}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \tan A\pm \tan B={\frac {\sin(A\pm B)}{\cos A\cos B}}}$

${\displaystyle \cot A\pm \cot B={\frac {\sin(B\pm A)}{\sin A\sin B}}}$

Funkcijų daugyba

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(A)\cdot \cos(B)&={\frac {1}{2}}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]\\\sin(A)\cdot \sin(B)&=-{\frac {1}{2}}[\cos(A+B)-\cos(A-B)]\\\cos(A)\cdot \sin(B)&={\frac {1}{2}}[\sin(A+B)-\sin(A-B)]\\\sin(A)\cdot \cos(B)&={\frac {1}{2}}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]\end{aligned}}}$

Dvigubo kampo tapatybės

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(2A)&=2\sin A\cos A\\&={\frac {2\tan A}{1+\tan ^{2}A}}\\\cos(2A)&=\cos ^{2}A-\sin ^{2}A\\&=2\cos ^{2}A-1\\&=1-2\sin ^{2}A\\&={1-\tan ^{2}A \over 1+\tan ^{2}A}\\\tan(2A)&={\frac {2\tan A}{1-\tan ^{2}A}}\\&={\frac {2\cot A}{\cot ^{2}A-1}}\\&={\frac {2}{\cot A-\tan A}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sin ^{2p}(A)\cdot \cos ^{2q}(A)=\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot \cos(2A)\right)^{p}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cdot \cos(2A)\right)^{q}.}$

Trigubo kampo tapatybės

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3A)=3\sin A-4\sin ^{3}A\\\cos(3A)=4\cos ^{3}A-3\cos A\end{aligned}}}$

Keturgubo kampo tapatybės

${\displaystyle \sin 4\alpha =8\cos ^{3}\alpha \sin \alpha -4\cos \alpha \sin \alpha ,}$

${\displaystyle \cos 4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1.}$

Funkcijų laipsniai

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha ),}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha ).}$

${\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {1}{4}}(3\sin \alpha -\sin 3\alpha ),}$

${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {1}{4}}(\cos 3\alpha +3\cos \alpha ).}$

${\displaystyle \sin ^{4}A={\cos(4A)-4\cos(2A)+3 \over 8},}$

${\displaystyle \cos ^{4}A={\cos(4A)+4\cos(2A)+3 \over 8}.}$

Pusės kampo tapatybės

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos A}{2}}}\\\cos {\frac {A}{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos A}{2}}}\\\tan {\frac {A}{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos A}{1+\cos A}}}={\frac {\sin A}{1+\cos A}}={\frac {1-\cos A}{\sin A}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos A}{1-\cos A}}}={\frac {\sin A}{1-\cos A}}={\frac {1+\cos A}{\sin A}}}$

Pusės kampo tapatybių įrodymai

${\displaystyle \cos(A)=\cos ^{2}{\frac {A}{2}}-\sin ^{2}{\frac {A}{2}},}$

${\displaystyle \cos(A)=\left(1-\sin ^{2}{\frac {A}{2}}\right)-\sin ^{2}{\frac {A}{2}}=1-2\sin ^{2}{\frac {A}{2}}\quad {\text{arba}}\quad \cos(A)=\cos ^{2}{\frac {A}{2}}-\left(1-\cos ^{2}{\frac {A}{2}}\right)=2\cos ^{2}{\frac {A}{2}}-1.}$

Iš čia

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {A}{2}}={\frac {1-\cos A}{2}},}$

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {A}{2}}={\frac {1+\cos A}{2}}.}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}\cdot 2\cos {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}\cdot 2\cos {\frac {A}{2}}}}={\frac {2\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {A}{2}}}{2\cos ^{2}{\frac {A}{2}}}}={\frac {\sin A}{1+\cos A}}.}$

Funkcijų daugybos įrodymai

• Įrodysime, kad

${\displaystyle \cos(A)\cdot \cos(B)={\frac {1}{2}}[\cos(A+B)+\cos(A-B)].}$

Iš kampų sudėties ir atimties turime

${\displaystyle \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B}$ ir

${\displaystyle \cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B.}$

Sudedame pirmą eilutę su antra

${\displaystyle \cos(A+B)+\cos(A-B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B+\cos A\cos B+\sin A\sin B=2\cos A\cos B,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\cos(A+B)+\cos(A-B))=\cos A\cos B.}$

• Įrodysime, kad

${\displaystyle \sin(A)\cdot \sin(B)=-{\frac {1}{2}}[\cos(A+B)-\cos(A-B)].}$

Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime

${\displaystyle \cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B}$ ir

${\displaystyle \cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B.}$

Atimame antrą eilutę iš pirmos

${\displaystyle \cos(A+B)-\cos(A-B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B-(\cos A\cos B+\sin A\sin B)=-2\sin A\sin B,}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}(\cos(A+B)-\cos(A-B))=\sin A\sin B.}$

• Įrodysime, kad

${\displaystyle \sin(A)\cdot \cos(B)={\frac {1}{2}}[\sin(A+B)+\sin(A-B)].}$

Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime

${\displaystyle \sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B}$ ir

${\displaystyle \sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B.}$

Sudedame pirmą eilutę su antra

${\displaystyle \sin(A+B)+\sin(A-B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B+\sin A\cos B-\cos A\sin B,}$

${\displaystyle \sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\sin(A+B)+\sin(A-B))=\sin A\cos B.}$

• Įrodysime, kad

${\displaystyle \cos(A)\cdot \sin(B)={\frac {1}{2}}[\sin(A+B)-\sin(A-B)].}$

Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime

${\displaystyle \sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B,}$

${\displaystyle \sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B.}$

Atimame antrą eilutę iš pirmos eilutės

${\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B-(\sin A\cos B-\cos A\sin B),}$

${\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B-\sin A\cos B+\cos A\sin B,}$

${\displaystyle \sin(A+B)-\sin(A-B)=2\cos A\sin B,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\sin(A+B)-\sin(A-B))=\cos A\sin B.}$

Taip pat skaitykite

• Vienetinis apskritimas

Šaltiniai

1. Udo Quak. Kaip suprasti matematiką. Teminis žinynas. – Kaunas: Šviesa, 2003. – 93 p. ISBN 5-430-03555-6

Nuorodos

• Visų trigonometrinių formulių įrodymai
• Trigubo kampo formulės įrodymas