Kvaternionas

Kvaternijonas arba kvaternionas (lot. quattor – keturi) – skaičių aibė, nekomutatyvus kompleksinių skaičių aibės praplėtimas. Kvaternijono koncepciją sumanė airis Viljamas Rovanas Hamiltonas 1843 m.

Paminklinė lenta, žyminti vietą, kur Hamiltonas sugalvojo kvaternijonus

Apibrėžimas

Kvaternijonų daugyba

·	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

Jei kompleksiniai skaičiai gaunami prie realiųjų skaičių pridedant įsivaizduojamą elementą ${\displaystyle i}$, kur ${\displaystyle i^{2}=-1}$, kvaternijonų aibė gaunama pridedant tris elementus ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$ ir ${\displaystyle k}$, tenkinančius tokias sąlygas:

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$

Kiekvienas kvaternijonas užrašomas formule:

${\displaystyle a+bi+cj+dk}$

Savybės

Skirtingai, nei realių ar kompleksinių skaičių, kvaternijonų daugyba yra nekomutatyvi, t. y. ${\displaystyle ij=k}$, bet ${\displaystyle ji=-k}$.

Kvaternionų ciklinės sandaugos diagrama.

Taip pat menamųjų komponenčių porų sandaugų rezultatą galima vaizduoti cikline diagrama. Gretimų dviejų komponenčių sandauga nurodyta kryptimi yra lygi sekančiai komponentei, pvz.: ${\displaystyle ij=k}$, ${\displaystyle jk=i}$. Dauginant komponenčių poras priešinga kryptimi nei rodyklėmis nurodyta diagramoje gaunama trečia komponentė su neigiamu ženklu, pvz.: ${\displaystyle kj=-i}$. Tą patį rezultatą galima matyti ir kvaternijonų daugybos lentelėje.

Vaizdavimas matricomis

Kvaternijonus galima vaizduoti 2×2 dydžio kompleksinių skaičių matrica arba 4×4 dydžio realiųjų skaičių matrica. Taigi, kvaternijoną ${\displaystyle a+bi+cj+dk}$ galima užrašyti:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a-di&-b+ci\\b+ci&\;\;a+di\end{pmatrix}}}$

Arba:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\;\;a&-b&\;\;d&-c\\\;\;b&\;\;a&-c&-d\\-d&\;\;c&\;\;a&-b\\\;\;c&\;\;d&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}}$

Panaudojimas

Kvaternijonai naudojami kompiuterinėje grafikoje objektų transformavimui trimatėje erdvėje. Kvaternijonai taip pat naudojami signalų apdorojime, fizikoje.

Šaltiniai

1. Severinas Zubė. Kompleksinai skaičiai, kvaternijonai ir posūkiai.
2. Quanta magazine. The Peculiar Math That Could Underlie the Laws of Nature. 2018 m. liepos 20 d.

Vikiteka: Kvaternijonas – vaizdinė ir garsinė medžiaga