Vektorius

Kitos reikšmės – Vektorius (reikšmės).

Vektorius (lot. vector - vežėjas, nešėjas) – matematinis dydis, apibūdinamas reikšme ir kryptimi erdvėje. Grafiškai vektoriai vaizduojami tiesių atkarpomis su rodyklėmis.

Du skirtingų krypčių vektoriai

Bendriausias vektoriaus pavyzdys fizikoje būtų jėga.

Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip – vektoriumi:

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2},...,v_{n})}$

čia v yra n skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija – kiekvieną v galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį n-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais v. Kiekvieną koordinačių plokštumos vektorių v galima išreikšti vienetiniais vektoriais i ir j, Jei v = xi + yj, tai skaičiai x ir y vadinami vektoriaus v koordinatėmis.

Vektorių tipai

• Lygieji vektoriai - vektoriai, kurių ilgis vienodas, o kryptis sutampa.
• Kolinearūs vektoriai. Du nenuliniai vektoriai vadinami kolineariaisiais, jeigu jie yra vienoje tiesėje arba lygiagrečiose tiesėse. Kolinearūs vektoriai gali būti vienkrypčiai (nukreipti į vieną pusę) arba priešpriešiniai (nukreipti į priešingas puses).
• Komplanarieji vektoriai. Vektoriai, kurie yra lygiagretūs vienai plokštumai arba yra vienoje plokštumoje.
• Nulinis vektorius - vektorius, kurio pabaiga sutampa su jo pradžia.

Vektoriaus daugyba iš skaliaro

Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas skaliaru. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro ir gauta sandauga yra vektorius:

${\displaystyle c\mathbf {v} =(cv_{1},cv_{2},...,cv_{n})}$.

Dviejų vektorių suma

Vektorių ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ ir ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ sudėtis naudojant trikampio ir lygiagretainio taisykles.

Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius: ${\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {w} =(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},...,v_{n}+w_{n})}$. Vektorių sudėties savybės:

1. ${\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {w} =\mathbf {w} +\mathbf {v} }$ (komutatyvumas arba sudėties perstatomumo dėsnis)
2. ${\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} =\mathbf {u} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )}$ (asociatyvumas arba sudėties jungiamumo dėsnis)
3. ${\displaystyle \mathbf {v} +0=\mathbf {v} }$

Skaliarinė vektorių sandauga

Išsamesnis straipsnis: Skaliarinė sandauga.

Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.

Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi atitikti, t. y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot w_{i}=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}+...+v_{n}w_{n}.}$

Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.

Pavyzdžiui, vektorių a=(3, 5, 6) ir b=(4, 0, 1) skaliarinė sandauga lygi:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =3\cdot 4+5\cdot 0+6\cdot 1=12+0+6=18.}$

Vektoriaus ilgis

Vektoriaus v ilgis, arba norma, žymimas ||v||, kartais |v|.

Vektoriaus v ilgis gali būti paskaičiuotas naudojant Euklido normą:

${\displaystyle \left\|\mathbf {v} \right\|={\sqrt {v_{1}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}}$.

Tai yra Pitagoro teoremos pasekmė, kadangi vienetiniai baziniai vektoriai e₁, e₂, e₃ yra statmeni. Tai taip pat yra lygu šakniai iš vektoriaus skaliarinės sandaugos su savimi:

${\displaystyle \left\|\mathbf {v} \right\|={\sqrt {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }}}$.

Pavyzdžiui, vektoriaus a=(3, -2, 4) ilgis:

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}={\sqrt {3^{2}+(-2)^{2}+4^{2}}}={\sqrt {29}}.}$

Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:

||cv||=c ||v||.

Trikampio nelygybė naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:

||v+w||≤||v||+||w||.

Kampas tarp vektorių

Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}}}$.

${\displaystyle \phi =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$

Matome, jog skaliarinė sandauga yra lygi vieno vektoriaus projekcijos į kitą vektorių ilgiui.

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|\cdot \cos \phi .}$

Kampas tarp dviejų vektorių yra nulinis, kai vektoriai yra vienakrypčiai, o kai priešpriešiai - kampas yra ištiestinis.

Vektorinė vektorių sandauga

Grafinis vektorinės sandaugos pavaizdavimas

Vektorinės vektorių sandaugos rezultatas yra vektorius. Vektorinė vektorių sandauga turi prasmę tik didesnio nei dviejų matavimų erdvėse.

Vektorių a × b sandauga yra vektorius, statmenas a ir b ir yra aprašytas taip:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\phi )\,\mathbf {\hat {n}} }$

kur φ yra kampas tarp a ir b, o ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ yra vienetinio ilgio vektorius ${\displaystyle (\left\|\mathbf {\hat {n}} \right\|=1)}$ statmenas ir a ir b. Šio apibrėžimo problema ta, kad yra du vienetiniai vektoriai, statmeni b ir a.

Ortogonalių vektorių bazė e₁, e₂ , e₃ vadinama dešinine, jei trys vektoriai išsidėstę kaip trys dešinės rankos pirštai (nykštys, smilius ir didysis).a × b vektorinė sandauga yra tokios krypties, kad a ir b bei a × b tampa dešinine sistema (taip pat atkreipkite dėmesį, kad a ir b nebūtinai yra ortogonalūs). Tai dar kitaip vadinama .

Kadangi vektorinė sandauga keičia ženklą esant veidrodiniam atspindžiui (), jos rezultatas kartais vadinamas .

Vektorinės sandaugos a × b (vektoriaus) ilgis gali būti interpretuojamas kaip plotas lygiagretainio, sudaryto iš kraštinių a ir b.

Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1, -2, 2), b=(3, 0, -4). Jų vektorinė sandauga lygi

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\1&-2&2\\3&0&-4\end{vmatrix}}=8\mathbf {i} +10\mathbf {j} +6\mathbf {k} =(8,10,6).}$

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą formaliai panaudojome determinanto skaičiavimo taisykles. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

${\displaystyle S=\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|={\sqrt {8^{2}+10^{2}+6^{2}}}={\sqrt {200}}=10{\sqrt {2}}.}$

Dedamųjų daugyba:

${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} =-(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )=\mathbf {k} ;}$

${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {k} =-(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )=\mathbf {i} ;}$

${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {i} =-(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )=\mathbf {j} .}$

${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} .}$

Mišri vektorių sandauga

Mišri vektorių sandauga (a b c) yra apibrėžiama:

${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.}$

Lygiagretainio gretasienio tūris gali būti skaičiuojamas kaip jį sudarančių 3 vektorių mišri sandauga.

Taip pat skaitykite

• Vektorių sudėtis
• Tiesinė algebra

Šaltiniai

1. Autorių kolektyvas. Matematika 11. I dalis. – Vilnius: TEV, 2002. – 1006 p. ISBN 9955-491-22-1
2. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei I dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 7 p. ISBN 5-430-034739-7
3. Vaidotas Mockus. Geometrijos žinynas moksleiviams. – Šiauliai: Šiaulių pedagoginis institutas, 1996. – 171 p. ISBN 9986-38-010-3
4. Vaidotas Mockus. Matematikos atmintinė moksleiviams. – Šiauliai: V. Mockaus įmonė, 2004. – 148 p. ISBN 9986-9150-7-4
5. Vaidotas Mockus, Algidė Jocaitė. Mokyklinio geometrijos kurso kartojimo medžiaga. – Šiauliai: V.Mockaus įmonė, 2002. – 211 p. ISBN 9955-9379-7-1
6. Autorių kolektyvas. Matematika 11. I dalis. – Vilnius: TEV, 2002. – 111 p. ISBN 9955-491-22-1

Nuorodos

Vikižodynas

Laisvajame žodyne yra terminas vektorius

Vikiteka: Vektorius – vaizdinė ir garsinė medžiaga

http://www2.el.vgtu.lt/ssa/sA1node1.html Archyvuota kopija 2007-12-27 iš Wayback Machine projekto.